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液化氣流量計(jì)信號(hào)的特點(diǎn)及稀疏傅里葉變換的理論分析
點(diǎn)擊次數(shù)：1802 發(fā)布時(shí)間：2021-01-08 06:43:58
摘要：傳統(tǒng)的渦街信號(hào)處理方法主要是用傅里葉變換，由于傳統(tǒng)的傅里葉變換的時(shí)間復(fù)雜度與其分析的信號(hào)長(zhǎng)度成正比，采樣點(diǎn)數(shù)越多其頻譜譜線越接近理想狀態(tài)，但需要較大的運(yùn)算時(shí)間。 針對(duì)這個(gè)問題，提出了采用稀疏傅里葉變換分析渦街流量信號(hào)的方法，利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行 Matlab 仿真，驗(yàn)證了該方法的性能優(yōu)于傳統(tǒng)的方法，不僅提高了對(duì)強(qiáng)噪聲的抗干擾能力還加快了計(jì)算速度。
近半個(gè)世紀(jì)以來， 液化氣流量計(jì)因其測(cè)量精度高、 無可動(dòng)部件、測(cè)量精度高等優(yōu)點(diǎn)得到了迅猛的發(fā)展。 液化氣流量計(jì)主要測(cè)量部件為壓電傳感器，其易受到噪聲的干擾，如管道振動(dòng)、電磁干擾、流體的低頻擺動(dòng)等。 在含有噪聲的信號(hào)的中提取出有用的渦街信號(hào)， 國(guó)內(nèi)外眾多研究學(xué)者對(duì)渦街信號(hào)的處理方式主要有FFT 的周期圖法、互相關(guān)法、自適應(yīng)陷波濾波法、小波分析法和數(shù)字跟蹤濾波方法等 。 但是這些方法對(duì)于含有強(qiáng)噪聲的信號(hào)測(cè)量精度不高或錯(cuò)誤，即噪聲頻率在渦街信號(hào)頻率范圍內(nèi)，而噪聲的幅值高于渦街信號(hào)的幅值。 本文提出一種基于稀疏傅里葉變換的渦街信號(hào)分析方法， 該方法不僅具有很高的實(shí)時(shí)性而且對(duì)含有強(qiáng)噪聲的信號(hào)也能夠保證測(cè)量的準(zhǔn)確性。
1 稀疏傅里葉變換的理論分析
快速傅里葉變換（ Fast Fourier Transform ， FFT ）的時(shí)間復(fù)雜度為 O （ nlogn ），與離散傅里葉變換（ Discrete Fourier Trans-form ， DFT ）的復(fù)雜度 O （ N 2 ）相比，運(yùn)算速度發(fā)生了質(zhì)的飛躍，尤其是隨著采樣點(diǎn)數(shù) N 的增加這種優(yōu)勢(shì)就越加明顯 。但是隨著時(shí)代的發(fā)展，需要實(shí)時(shí)處理的信號(hào)越來越多，即便是 FFT 對(duì)于這樣的需求也難以滿足。 傳統(tǒng)的 FFT 只考慮到了信號(hào)的長(zhǎng)度 N 需要為 2 的整數(shù)次冪，并未考慮到信號(hào)的自身的特性，如稀疏性。
在實(shí)際生活中常見的信號(hào)的傅里葉系數(shù)只有小部分是我們感興趣的，其大部分都是可以忽略的，如圖像和語(yǔ)音信號(hào) 。 針對(duì)這樣的信號(hào)能否找到一種更加快速的算法來計(jì)算其傅里葉變換，MIT的團(tuán)隊(duì)給出了答案 。 該團(tuán)隊(duì)提出了稀疏傅里葉變換（ Sparse Fourier Transform ， SFT ）， 該算法利用了信號(hào)頻域的稀疏性，先對(duì)信號(hào)進(jìn)行分“桶”，將長(zhǎng)的 DFT 運(yùn)算變?yōu)檩^短的運(yùn)算，再根據(jù)一定的規(guī)則重構(gòu)了信號(hào)的頻譜，其運(yùn)算速度為 FFT 的十倍甚至百倍 。
稀疏傅里葉變換使用的先決條件就是分析的信號(hào)具有稀疏性，設(shè) x （ n ）是長(zhǎng)度為 N 點(diǎn)的有限長(zhǎng)序列，則該序列的 N 點(diǎn)離散傅里葉變換逆變換為：
其中 Ω N 表示集合 邀0 ， 1 ，……， N－1妖 。 只有 K （ K塏N ）個(gè)非零的傅里葉系數(shù)，只通過信號(hào) x （ n ）的部分采樣值來確定這 K 非零傅里葉系數(shù)與位置。
1．1 頻域降采樣
參數(shù) B 整除 N ，若想要以等間隔 N／B 對(duì)信號(hào)頻域進(jìn)行降采樣，即：
混疊后頻域譜線由 N 減少到 B ，信號(hào)點(diǎn)數(shù)成倍較少，這正是SFT 算法復(fù)雜度為亞線性的關(guān)鍵原因之一。
1．2 稀疏傅里葉變換運(yùn)算步驟
稀疏傅里葉變換包括頻譜重排、加窗函數(shù)、頻域降采樣、定位、估值與迭代等運(yùn)算過程。
1．2．1 頻譜重排
頻譜重排的目的是使各大值點(diǎn)均勻分布， 分桶時(shí)大頻點(diǎn)不要分到同一個(gè)桶中，當(dāng)兩個(gè)或兩個(gè)以上大值點(diǎn)在同一桶中時(shí)，無法求解取大值點(diǎn)的頻率和位置。p （ n ） ＝x ｛ mod ［ σ · n ， N ］｝， nε ［ 1 ， N ］ （ 4 ）式中 σ 為一個(gè)隨機(jī)數(shù)，且為奇數(shù)，并滿足 mod ［ σ×σ －1 ， N ］ ＝1 ，這就保證了 σ 與 N 互為質(zhì)數(shù)， σ －1 為 σ 的模逆算子。 根據(jù)傅里葉變換可知上式中的 p （ n ）， x （ n ）滿足：P （ k ） ＝X ｛ mod ［ σ－1 · k ， N ］｝， σ ， kε ［ 1 ， N ］ （ 5 ）通過式（ 4 ）、（ 5 ）知道信號(hào)時(shí)域上的重排也會(huì)導(dǎo)致頻譜信號(hào)位置上發(fā)生變換。
1．2．2 窗函數(shù)濾波器
為了保證算法的效率且防止頻譜泄漏，需要設(shè)計(jì)一個(gè)在時(shí)域和頻域能量都集中的濾波器， 根據(jù)文獻(xiàn)該濾波器的為 sinc 窗函數(shù)與高斯窗函數(shù)的卷積，該窗函數(shù)具有過渡帶陡峭、通帶平滑等特點(diǎn)。
1．2．3 哈希映射
定義一個(gè)映射區(qū)間 Ω N →Ω B 的哈希函數(shù)： h σ （ k ） ＝round （ σ ·k · N／B ）， round 表示四舍五入， 將 Ω N 中每一個(gè)點(diǎn)都映射到 Ω B中。 定義偏移量： o σ （ k ） ＝σ · k－h(huán) σ （ k ）·（ N／B ）；定義集合 J ，集合 J包含了 Z （ k 中 K 個(gè)較大幅值的坐標(biāo) k ；通過哈希反映射得到 I r ，即 I r ＝邀kε ［ 0 ， N－1 ］ ｜h σ （ k ） εJ妖 ，*后從中取出 K 個(gè)大值點(diǎn)對(duì)原信號(hào)的頻率估計(jì)。
1．2．4 循環(huán)投票
對(duì)于每一個(gè) kεI ， X‘（ k ） ＝Z （ h σ （ k ） W Nτk／G （ o σ （ k ））頻率估計(jì)值。 每一次定位循環(huán)得到一個(gè)坐標(biāo)集合 I r ，在 L＝O （ log 2 N ）次循環(huán)中，對(duì)任意坐標(biāo) kεI＝I 1 U …… υI r ，若出現(xiàn)次數(shù)大于 L／2 ，則將其歸入集合 I‘ 中，并認(rèn)為集合 I‘ 包含所有目標(biāo)頻點(diǎn)坐標(biāo)。 對(duì)每一個(gè)kεI‘ ，取 L 次循環(huán)得到 X （ k ）的中值作為*終的頻率值，即：X （ k ） ＝median （ 邀X r （ k ） ｜rε邀1 ，……， L)
2 渦街信號(hào)的特點(diǎn)
在一定范圍內(nèi)，流體流速 V 與渦街頻率 f 有以下關(guān)系：
f＝πK 1 VD2／4 （ 6 ）
其中 K 1 為儀表系數(shù)， D 為管道直徑。在管道口徑 D 不變，流體密度不變的情況下，渦街傳感器的輸出幅值與 f 2 成正比，具體表達(dá)形式可以根據(jù)實(shí)驗(yàn)測(cè)出。本文以 50mm 口徑氣體實(shí)驗(yàn)為例，數(shù)據(jù)如表 1 所示：
從表 1 的氣體流量的實(shí)際幅值和擬合幅值的誤差可以看出，渦街信號(hào)的幅值在理論值附近波動(dòng)，且波動(dòng)的范圍一定，則幅頻關(guān)系更一般的形式表達(dá)如下：
其中 c 為系數(shù)， δ 為相對(duì)誤差限， 其示意圖如圖 2 所示，圖中實(shí)線為幅頻關(guān)系的理論擬合曲線， 而虛線為幅值波動(dòng)的閾值曲線。根據(jù)實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)，渦街信號(hào)幅值波動(dòng)的相對(duì)誤差為 ±10％ 。
3 實(shí)驗(yàn)仿真
本實(shí)驗(yàn)采用基于對(duì)管道振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行分析， 其采樣點(diǎn)數(shù)為2048 ，采用稀疏傅里葉變換對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行頻譜分析。 如圖 3 所示。
圖 4 是用 FFT 算法對(duì)渦街時(shí)域信號(hào)分析后得到的頻譜圖，其中渦街信號(hào)頻率為 141．8Hz ，振動(dòng)噪聲信號(hào)頻率為 25．34Hz 。從圖中可以看出，信號(hào)是稀疏的，稀疏度 K＝2 。
從圖 5 可以看出 SFT 算法能夠很好恢復(fù)，對(duì)渦街信號(hào)的頻率恢復(fù)沒有誤差，而幅值的誤差不超過 1％ ，這對(duì)含有強(qiáng)振動(dòng)噪聲的渦街信號(hào)精確測(cè)量至關(guān)重要；圖 6 是經(jīng) SFT 頻譜分析所得到的數(shù)據(jù)通過幅頻特性曲線來辨別是噪聲信號(hào)還是渦街信號(hào)。通過幅頻關(guān)系的信號(hào)處理方法可以從含有振動(dòng)的混合信號(hào)中識(shí)別渦街信號(hào)，從而達(dá)到提高液化氣流量計(jì)抗振動(dòng)性能的目的。
現(xiàn)在分析 SFT 算法的優(yōu)越性。 基于哈希映射的稀疏傅里葉變換算法的時(shí)間復(fù)雜度為
由前文可知 FFT 算法時(shí)間復(fù)雜度為 O （ Nlog 2 N ）。 隨著信號(hào)長(zhǎng)度 N 的增長(zhǎng)，兩者的時(shí)間復(fù)雜度也會(huì)發(fā)生變化。 采用時(shí)間復(fù)雜度的數(shù)量級(jí)的比值來刻畫這種變化：
當(dāng) K＝2 ，SFT 算法與 FFT 算法的時(shí)間復(fù)雜度的比值關(guān)系如圖 7 所示。處理的 ROBLOCAM－CN 算法進(jìn)行對(duì)比，其估計(jì)誤差率 eer(t)對(duì)比效果如圖 4 所示。從對(duì)比結(jié)果中可以看到，若不對(duì)通信噪聲進(jìn)行處理則各自由節(jié)點(diǎn)和墻的位置始終存在偏差 ， 而 在ROBLOCAM－CN 算法下所有的自由節(jié)點(diǎn)與墻都迅速收斂至各自的精確位置，驗(yàn)證了本算法的有效性和魯棒性。 各節(jié)點(diǎn)的收斂軌跡和*終的定位與環(huán)境構(gòu)建效果如圖 5 所示。
5 結(jié)束語(yǔ)
本文提出了一種噪聲情形下新穎的室內(nèi)定位與環(huán)境構(gòu)建算法，該算法不需要無線傳感器網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)配備激光傳感模塊，只需要通過節(jié)點(diǎn)間的射頻信號(hào)即可實(shí)現(xiàn)對(duì)周圍環(huán)境的感知，為室內(nèi)定位與環(huán)境構(gòu)建技術(shù)提供了一種經(jīng)濟(jì)且可靠的解決方案。
近半個(gè)世紀(jì)以來， 液化氣流量計(jì)因其測(cè)量精度高、 無可動(dòng)部件、測(cè)量精度高等優(yōu)點(diǎn)得到了迅猛的發(fā)展。 液化氣流量計(jì)主要測(cè)量部件為壓電傳感器，其易受到噪聲的干擾，如管道振動(dòng)、電磁干擾、流體的低頻擺動(dòng)等。 在含有噪聲的信號(hào)的中提取出有用的渦街信號(hào)， 國(guó)內(nèi)外眾多研究學(xué)者對(duì)渦街信號(hào)的處理方式主要有FFT 的周期圖法、互相關(guān)法、自適應(yīng)陷波濾波法、小波分析法和數(shù)字跟蹤濾波方法等 。 但是這些方法對(duì)于含有強(qiáng)噪聲的信號(hào)測(cè)量精度不高或錯(cuò)誤，即噪聲頻率在渦街信號(hào)頻率范圍內(nèi)，而噪聲的幅值高于渦街信號(hào)的幅值。 本文提出一種基于稀疏傅里葉變換的渦街信號(hào)分析方法， 該方法不僅具有很高的實(shí)時(shí)性而且對(duì)含有強(qiáng)噪聲的信號(hào)也能夠保證測(cè)量的準(zhǔn)確性。
1 稀疏傅里葉變換的理論分析
快速傅里葉變換（ Fast Fourier Transform ， FFT ）的時(shí)間復(fù)雜度為 O （ nlogn ），與離散傅里葉變換（ Discrete Fourier Trans-form ， DFT ）的復(fù)雜度 O （ N 2 ）相比，運(yùn)算速度發(fā)生了質(zhì)的飛躍，尤其是隨著采樣點(diǎn)數(shù) N 的增加這種優(yōu)勢(shì)就越加明顯 。但是隨著時(shí)代的發(fā)展，需要實(shí)時(shí)處理的信號(hào)越來越多，即便是 FFT 對(duì)于這樣的需求也難以滿足。 傳統(tǒng)的 FFT 只考慮到了信號(hào)的長(zhǎng)度 N 需要為 2 的整數(shù)次冪，并未考慮到信號(hào)的自身的特性，如稀疏性。
在實(shí)際生活中常見的信號(hào)的傅里葉系數(shù)只有小部分是我們感興趣的，其大部分都是可以忽略的，如圖像和語(yǔ)音信號(hào) 。 針對(duì)這樣的信號(hào)能否找到一種更加快速的算法來計(jì)算其傅里葉變換，MIT的團(tuán)隊(duì)給出了答案 。 該團(tuán)隊(duì)提出了稀疏傅里葉變換（ Sparse Fourier Transform ， SFT ）， 該算法利用了信號(hào)頻域的稀疏性，先對(duì)信號(hào)進(jìn)行分“桶”，將長(zhǎng)的 DFT 運(yùn)算變?yōu)檩^短的運(yùn)算，再根據(jù)一定的規(guī)則重構(gòu)了信號(hào)的頻譜，其運(yùn)算速度為 FFT 的十倍甚至百倍 。
稀疏傅里葉變換使用的先決條件就是分析的信號(hào)具有稀疏性，設(shè) x （ n ）是長(zhǎng)度為 N 點(diǎn)的有限長(zhǎng)序列，則該序列的 N 點(diǎn)離散傅里葉變換逆變換為：
其中 Ω N 表示集合 邀0 ， 1 ，……， N－1妖 。 只有 K （ K塏N ）個(gè)非零的傅里葉系數(shù)，只通過信號(hào) x （ n ）的部分采樣值來確定這 K 非零傅里葉系數(shù)與位置。
1．1 頻域降采樣
參數(shù) B 整除 N ，若想要以等間隔 N／B 對(duì)信號(hào)頻域進(jìn)行降采樣，即：
混疊后頻域譜線由 N 減少到 B ，信號(hào)點(diǎn)數(shù)成倍較少，這正是SFT 算法復(fù)雜度為亞線性的關(guān)鍵原因之一。
1．2 稀疏傅里葉變換運(yùn)算步驟
稀疏傅里葉變換包括頻譜重排、加窗函數(shù)、頻域降采樣、定位、估值與迭代等運(yùn)算過程。
1．2．1 頻譜重排
頻譜重排的目的是使各大值點(diǎn)均勻分布， 分桶時(shí)大頻點(diǎn)不要分到同一個(gè)桶中，當(dāng)兩個(gè)或兩個(gè)以上大值點(diǎn)在同一桶中時(shí)，無法求解取大值點(diǎn)的頻率和位置。p （ n ） ＝x ｛ mod ［ σ · n ， N ］｝， nε ［ 1 ， N ］ （ 4 ）式中 σ 為一個(gè)隨機(jī)數(shù)，且為奇數(shù)，并滿足 mod ［ σ×σ －1 ， N ］ ＝1 ，這就保證了 σ 與 N 互為質(zhì)數(shù)， σ －1 為 σ 的模逆算子。 根據(jù)傅里葉變換可知上式中的 p （ n ）， x （ n ）滿足：P （ k ） ＝X ｛ mod ［ σ－1 · k ， N ］｝， σ ， kε ［ 1 ， N ］ （ 5 ）通過式（ 4 ）、（ 5 ）知道信號(hào)時(shí)域上的重排也會(huì)導(dǎo)致頻譜信號(hào)位置上發(fā)生變換。
1．2．2 窗函數(shù)濾波器
為了保證算法的效率且防止頻譜泄漏，需要設(shè)計(jì)一個(gè)在時(shí)域和頻域能量都集中的濾波器， 根據(jù)文獻(xiàn)該濾波器的為 sinc 窗函數(shù)與高斯窗函數(shù)的卷積，該窗函數(shù)具有過渡帶陡峭、通帶平滑等特點(diǎn)。
1．2．3 哈希映射
定義一個(gè)映射區(qū)間 Ω N →Ω B 的哈希函數(shù)： h σ （ k ） ＝round （ σ ·k · N／B ）， round 表示四舍五入， 將 Ω N 中每一個(gè)點(diǎn)都映射到 Ω B中。 定義偏移量： o σ （ k ） ＝σ · k－h(huán) σ （ k ）·（ N／B ）；定義集合 J ，集合 J包含了 Z （ k 中 K 個(gè)較大幅值的坐標(biāo) k ；通過哈希反映射得到 I r ，即 I r ＝邀kε ［ 0 ， N－1 ］ ｜h σ （ k ） εJ妖 ，*后從中取出 K 個(gè)大值點(diǎn)對(duì)原信號(hào)的頻率估計(jì)。
1．2．4 循環(huán)投票
對(duì)于每一個(gè) kεI ， X‘（ k ） ＝Z （ h σ （ k ） W Nτk／G （ o σ （ k ））頻率估計(jì)值。 每一次定位循環(huán)得到一個(gè)坐標(biāo)集合 I r ，在 L＝O （ log 2 N ）次循環(huán)中，對(duì)任意坐標(biāo) kεI＝I 1 U …… υI r ，若出現(xiàn)次數(shù)大于 L／2 ，則將其歸入集合 I‘ 中，并認(rèn)為集合 I‘ 包含所有目標(biāo)頻點(diǎn)坐標(biāo)。 對(duì)每一個(gè)kεI‘ ，取 L 次循環(huán)得到 X （ k ）的中值作為*終的頻率值，即：X （ k ） ＝median （ 邀X r （ k ） ｜rε邀1 ，……， L)
2 渦街信號(hào)的特點(diǎn)
在一定范圍內(nèi)，流體流速 V 與渦街頻率 f 有以下關(guān)系：
f＝πK 1 VD2／4 （ 6 ）
其中 K 1 為儀表系數(shù)， D 為管道直徑。在管道口徑 D 不變，流體密度不變的情況下，渦街傳感器的輸出幅值與 f 2 成正比，具體表達(dá)形式可以根據(jù)實(shí)驗(yàn)測(cè)出。本文以 50mm 口徑氣體實(shí)驗(yàn)為例，數(shù)據(jù)如表 1 所示：
從表 1 的氣體流量的實(shí)際幅值和擬合幅值的誤差可以看出，渦街信號(hào)的幅值在理論值附近波動(dòng)，且波動(dòng)的范圍一定，則幅頻關(guān)系更一般的形式表達(dá)如下：
其中 c 為系數(shù)， δ 為相對(duì)誤差限， 其示意圖如圖 2 所示，圖中實(shí)線為幅頻關(guān)系的理論擬合曲線， 而虛線為幅值波動(dòng)的閾值曲線。根據(jù)實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)，渦街信號(hào)幅值波動(dòng)的相對(duì)誤差為 ±10％ 。
3 實(shí)驗(yàn)仿真
本實(shí)驗(yàn)采用基于對(duì)管道振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行分析， 其采樣點(diǎn)數(shù)為2048 ，采用稀疏傅里葉變換對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行頻譜分析。 如圖 3 所示。
圖 4 是用 FFT 算法對(duì)渦街時(shí)域信號(hào)分析后得到的頻譜圖，其中渦街信號(hào)頻率為 141．8Hz ，振動(dòng)噪聲信號(hào)頻率為 25．34Hz 。從圖中可以看出，信號(hào)是稀疏的，稀疏度 K＝2 。
從圖 5 可以看出 SFT 算法能夠很好恢復(fù)，對(duì)渦街信號(hào)的頻率恢復(fù)沒有誤差，而幅值的誤差不超過 1％ ，這對(duì)含有強(qiáng)振動(dòng)噪聲的渦街信號(hào)精確測(cè)量至關(guān)重要；圖 6 是經(jīng) SFT 頻譜分析所得到的數(shù)據(jù)通過幅頻特性曲線來辨別是噪聲信號(hào)還是渦街信號(hào)。通過幅頻關(guān)系的信號(hào)處理方法可以從含有振動(dòng)的混合信號(hào)中識(shí)別渦街信號(hào)，從而達(dá)到提高液化氣流量計(jì)抗振動(dòng)性能的目的。
現(xiàn)在分析 SFT 算法的優(yōu)越性。 基于哈希映射的稀疏傅里葉變換算法的時(shí)間復(fù)雜度為
由前文可知 FFT 算法時(shí)間復(fù)雜度為 O （ Nlog 2 N ）。 隨著信號(hào)長(zhǎng)度 N 的增長(zhǎng)，兩者的時(shí)間復(fù)雜度也會(huì)發(fā)生變化。 采用時(shí)間復(fù)雜度的數(shù)量級(jí)的比值來刻畫這種變化：
當(dāng) K＝2 ，SFT 算法與 FFT 算法的時(shí)間復(fù)雜度的比值關(guān)系如圖 7 所示。處理的 ROBLOCAM－CN 算法進(jìn)行對(duì)比，其估計(jì)誤差率 eer(t)對(duì)比效果如圖 4 所示。從對(duì)比結(jié)果中可以看到，若不對(duì)通信噪聲進(jìn)行處理則各自由節(jié)點(diǎn)和墻的位置始終存在偏差 ， 而 在ROBLOCAM－CN 算法下所有的自由節(jié)點(diǎn)與墻都迅速收斂至各自的精確位置，驗(yàn)證了本算法的有效性和魯棒性。 各節(jié)點(diǎn)的收斂軌跡和*終的定位與環(huán)境構(gòu)建效果如圖 5 所示。
5 結(jié)束語(yǔ)
本文提出了一種噪聲情形下新穎的室內(nèi)定位與環(huán)境構(gòu)建算法，該算法不需要無線傳感器網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)配備激光傳感模塊，只需要通過節(jié)點(diǎn)間的射頻信號(hào)即可實(shí)現(xiàn)對(duì)周圍環(huán)境的感知，為室內(nèi)定位與環(huán)境構(gòu)建技術(shù)提供了一種經(jīng)濟(jì)且可靠的解決方案。
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